Matemática Avanzada: Primera Semana

Los Números Complejos
Dentro de los números reales había números racionales y números irracionales. De la misma forma en C podemos hablar de números reales (los que tienen su parte imaginaria nula) y de números imaginarios (aquellos cuya parte imaginaria no es nula). Se llaman números imaginarios puros a los que tienen nula la parte real, los de la forma (0,b).

Forma Algebraica

El número complejo (a,b) lo podemos representar en forma binómica como a+bi.

Forma Rectangular

Sobre el eje horizontal (eje real) representamos la parte real y sobre el eje vertical (eje imaginario) la parte imaginaria.
Se llama afijo de un número complejo al punto del plano con el que se corresponde en su representación gráfica.

Forma Polar
Un número complejo z del que conocemos su módulo |z| y su argumento a lo podemos escribir como |z|a, a esta forma se le llama forma polar.

Conjugada de z
El conjugado del número complejo z=(a,b) es otro número complejo

. En forma binómica, el conjugado de z=a+bi es .

Potencias de la unidad imaginaria

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = −1

i³= −i

i⁴ = 1

Operaciones:

Re(z1 + z2)= a+c

Img(z1 + z2)= b+d

Propiedades:

Sea z1=a+bi ^ z2=c+di entonces,

z1+z2=(a+bi)+(c+di)=0+0i

(a+c)+(b+d)i=0+0i

a+c=0 ^ b+d=0

c=-a ^ d=-b

Producto:

Sea z1=a+bi ^ z2=c+di, entonces:

z1.z2=(a+bi).(c+di)

= ac+bci+adi+bd(i)^2

= ac+bci+adi-bd

z1.z2=(ac-bd)+(bc+ad)i

Re(z1.z2)=ac-bd

Img(z1.z2)=bc+ad

Observaciones:

Sea z=a+bi ,entonces.

i) Re(z)=a=0, entonces Z es un imaginario puro.

ii) Img(z)=b=0, entonces Z es un numero real.

- Todo número real es un complejo.

- No todo numero complejo es real.

Si tenemos que i=√-1 ,entonces

Conjugada de Z:

Argumento de Z:

Forma Polar:

Z= r . α

Inverso Multiplicativo:

Propiedades:

División:
Sea z1=a+bi ^ z2=c+di, entonces

Forma Trigonométrica de Z:

Potenciación:

Radicación:

Ejemplos

Funciones de variable compleja

Un símbolo, tal como z, que representa a cualquier elemento de un conjunto de números complejos se llama variable compleja.

Si a cada valor que puede tomar la variable compleja z le corresponde uno o más valores de una variable compleja w, decimos que w es una función de z y escribimos w = f(z). La variable z frecuentemente es llamada variable independiente, mientras que la variable w es la variable dependiente. El valor de una función en z = a se representa f (a).

Si a cada valor de z le corresponde sólo un valor de w, decimos que w es una función unívoca de z o que f (z) es unívoca. Si por el contrario, a cada valor de z le corresponde más de un valor de w diremos que la función es multívoca, multiforme o multivaluada.
Una función multiforme puede considerarse como una colección de funciones unívocas; cada miembro de esta colección se llamará rama de la función. Se suele considerar un miembro particular como una rama principal de la función multiforme y el valor correspondiente a esta rama como el valor principal.

Si w = f (z), entonces podemos considerar z como una función de w, simbólicamente se representa por z = g (w) = f^-1(w). La función f^-1se llama función inversa de f. En tal caso w = f (z) y z = g (w) son funciones inversas (una de la otra)

Transformaciones

Si w = u + iv (donde u y v son reales) es una función unívoca de z = x + iy (donde x e y son reales), podemos escribir u + iv = f (x + iy). Igualando las partes reales e imaginarias, lo anterior equivale a

u = u (x, y) v = v (x, y) (1) Entonces, al punto P(x, y) en el plano z le corresponde el punto P'(u, v) en el plano w.

Dada la transformación w = f (z) o, equivalentemente u = u (x, y), v = v (x, y), (x, y) serán las coordenadas rectangulares de un punto P en el plano z, y (u, v) serán las coordenadas curvilíneas de P.
Las curvas u (x, y) = c₁, v (x, y) = c₂, donde c₁ y c₂ son constantes, se llaman curvas coordenadas y cada par de esas curvas se cortan en un punto. Esas curvas se aplican en rectas ortogonales entre sí en el plano w.

Limites de Funciones de variables complejas

Límites:

Continuidad:

Se dice que f(z) es continua Si se cumple:

i) ƎF(Zo) ii) Ǝ lim z ->zo F(z) iii) lim z->zo F(zo) = F(zo)

1.) Discontinuidad Evitable -> Se puede redefinir.
2.) Discontinuidad inevitable->No se puede redefinir.

Exponenciales complejos o Formula de EULER:
Funciones exponenciales son las definidas por