Tercera Semana

Derivación e Integración de Series






Serie de Taylor:


Serie de Maclaurin:



Serie de Laurent:





Teorema de los residuos:


Sea f(z) una función analítica en un dominio simplemente conexo D, excepto en un número finito de puntos z_k que constituyen singularidades aisladas de la función. Sea C una curva simple, cerrada y regular a trozos orientada positivamente, contenida en D y que no pasa por ninguna de las singularidades. Entonces se tiene:
\oint_C f(z)dz=2\pi i\sum_k \operatorname{Res}(f, z_k)
donde \operatorname{Res}(f, z_k) es el Residuo de la función, en el punto singular zk.

Sea f holomorfa usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann la forma diferencial  f(z)\,dz es cerrada. Por lo tanto, usando el corolario sobre las diferenciales de forma cerrada, un dominio simplemente conexo, sabemos que la integral \int_C f(z)\, dz es igual a  \int_{C'} f(z)\, dz siempre que C'  sea una curva homotópica con  C.
En específico, podemos considerar una curva tipo C' la cual tiene una rotación alrededor de los puntos  a_j sobre círculos pequeños, cuando unimos todos estos pequeños círculos por medio de segmentos.
Ya que la curva  C'  sigue cada segmento 2 veces con alineación opuesta, sólo necesitaremos sumar las integrales de  f alrededor de los círculos pequeños.
Consecuentemente sea  z=a_j+\rho e^{i\theta}  parametrización de la curva alrededor del punto a_j, entonces tendremos dz=\rho i e^{i\theta}\, d \theta, por lo tanto:

\int_C f(z)\, dz = \int_{C'} f(z)\, dz = \sum_j \eta(C,a_j)\int_{\partial B_\rho(a_j)} f(z)\, dz = \sum_j \eta(C,a_j) \int_0^{2\pi} f(a_j+\rho e^{i\theta}) \rho i e^{i\theta}\, d\theta
donde  \rho>0 , escogido tan extremadamente diminuto, tal que las esferas  B_\rho(a_j) están todas desarticuladas y todas en un mismo dominio  U. Entonces por medio de la linealidad en todas la singularidades, se demuestra que para toda  j:
i\int_0^{2\pi} f(a_j+\rho e^{i\theta})\rho e^{i\theta}\, d\theta = 2\pi i \mathrm{Res}(f,a_j).
Sea  j  fija y apliquemos la serie de Laurent para  f  en  a_j:
f(z)= \sum_{k\in \mathbb Z} c_k (z-a_j)^k
de tal forma que \rm{Res}(f,a_j)=c_{-1}, donde c-1, es el coeficiente de {1 \over (z-a_j)}en la serie de laurent. Entonces tenemos:
\int_0^{2\pi} f(a_j+\rho e^{i\theta})\rho e^{i\theta}\, d\theta = \sum_k \int_0^{2\pi} c_k (\rho e^{i\theta})^k \rho e^{i\theta}\, d\theta =\rho^{k+1} \sum_k c_k \int_0^{2\pi} e^{i(k+1)\theta}\, d\theta.
Observemos que si  k=-1  , tendremos
\rho^{k+1} c_k \int_0^{2\pi} e^{i(k+1)\theta}\, d\theta = c_{-1}\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi c_{-1} = 2\pi \,\mathrm{Res}(f,a_j)
mientras que para  k\neq -1 tenemos que los términos de la suma se anulan, debido a que
\int_0^{2\pi} e^{i(k+1)\theta}\, d\theta = \left[\frac{e^{i(k+1)\theta}}{i(k+1)}\right]_0^{2\pi} = 0.


Series de Fourier
 
En matemáticas, una serie de Fourier, que es llamada así en honor de Joseph Fourier (1768-1830), es una representación de una función periódica como una suma de funciones periódicas de la forma
que son armónicos de ei x; Fourier fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, aplicándolas a la solución de la ecuación del calor y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Este área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. Muchas tipos de otras transformadas relacionadas con la de Fourier han sido definidas desde entonces.
 
 
Definición de la serie de Fourier:
 
Supongamos que es un conjunto infinito ortogonal de funciones en un intervalo [a,b]. Nos preguntamos: si y=f(x) es una función definida en el intervalo [a,b], ¿será posible determinar un conjunto de coeficientes 0, 1, 2,..., para el cual
Como en la descripción anterior, cuando determinamos los componentes de un vector, también podemos determinar los coeficientes  mediante el producto interno. Al multiplicar la ecuación anterior por  e integrar en el intervalo [a,b] se obtiene:
Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es cero, excepto cuando m=n. En este caso tendremos
Entonces los coeficientes que buscamos son
En otras palabras,  (1)
En la que  (2)
La ecuación 2, en notación de producto interno ( o producto punto ), es
 (3)
 
El conjunto de Funciones:
 
 (1)
es ortogonal en el intervalo [-p,p], supongamos que f es una función definida en el intervalo [-p,p] que se puede desarrollar en la serie trigonométrica
 (2)
Entonces, los coeficientes  pueden determinar tal como describimos para la serie de Fourier generalizada en la sección anterior.
Al integrar ambos lados de la ecuación (2), desde –p hasta p, se obtiene
 (3)
Como cada función ,  n>1, es ortogonal a 1 en el intervalo, el lado derecho de (3) se reduce a un solo término y, en consecuencia,
Al despejar  se obtiene
 (4)
Ahora multipliquemos la ecuación (2) por  e integremos:


 (5)
por la ortogonalidad tenemos que


y 

Entonces la ecuación 5 se reduce a:

 

Y así:

  

Por último si multiplicamos a (2) por , integramos y aplicamos los resultados



llegamos a   

 

La serie de Fourier de una función definida en el intervalo (-p,p) es:

 
 
 
 

Series de Fourier en senos y cosenos:

Si f es una función par en (-p,p), entonces en vista de las propiedades anteriores, los coeficientes de (9),(10) y (11) se transforman en:



.

En forma parecida, cuando f es impar en el intervalo (-p,p),

, n=0,1,2,..., 

Desarrollo de Series de Fourier de Funciones Pares e Impares:




Transformada de Fourier











 
 
 Bibliografía:
  • http://rpduarte.fisica.uson.mx/archivos/curso3/05-MetMatFisI.pdf
  • https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier
  • http://mazinger.sisib.uchile.cl/repositorio/ap/ciencias_quimicas_y_farmaceuticas/apmat4h/10c.html
  • http://matap.dmae.upm.es/Asignaturas/MetodosMatematicos_eiae/Transformada_Fourier.pdf
 

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