Segunda Semana

Funciones Trigonométricas
Definimos las funciones trigonométricas o circulares usando las funciones exponenciales de la siguiente manera


Muchas de las propiedades de las funciones trigonométricas reales son también válidas para el caso de las funciones trigonométricas complejas. Por ejemplo:








Funciones Hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas están definidas como sigue:ç

Las siguientes propiedades son válidas:








Logaritmos complejos

Sea la función w = z^1/2, y supongamos que z dé una vuelta completa (en sentido positivo) alrededor del origen empezando desde el punto A.
Tenemos que z = re^iq, con lo que , por tanto en A se tendrá . Pero después de una vuelta completa . Es decir, no hemos obtenido el mismo valor de w que al principio, sin embargo al dar una segunda vuelta se llega a , es decir el mismo valor de w que al empezar.
Para describir la situación diremos que si  estamos en una rama de la función multivaluada z^1/2, mientras que si  estamos en otra rama de la función.

Está claro que cada rama de la función es unívoca. Con el fin de mantener la función unívoca, escogemos una barrera artificial tal como OB, donde B está en el infinito (aunque podríamos usar cualquier línea que pase por el origen), la cual acordamos no cruzar. Esta barrera se llama una rama y el punto O un punto de ramificación.
Hay que observar que una vuelta alrededor de cualquier otro punto distinto del origen no conduce a valores diferentes, es decir, el origen es el único punto de ramificación.

Valor general del logaritmo complejo

Si z = e^w, entonces escribimos w = ln z, llamado el logaritmo natural de z. Entonces la función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial y podemos definirla por
donde z = re^iq=re^i(q+2kp )
Esta función es multivaluada, por ello se define el valor principal o rama principal de la función ln z como ln z +iq, donde . Esta definición es un convenio, se podría definir de igual forma tomando q en cualquier intervalo de amplitud 2p .
La función logarítmica compleja se puede definir para cualquier base real, como la inversa de la correspondiente función exponencial.
La función z^w, donde w puede ser complejo, está definida como e^w · ln z. Análogamente, si f (z) y g(z) son dos funciones conocidas de z, podemos definir f (z)^g(z)=e^{g(z) · ln f (z)}. En general este tipo de funciones son multivaluadas.






Integral de Línea

El concepto de integral definida no es tan fácilmente generalizable. Recordemos que en el caso real la integral definida real ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$ se obtiene integrando en un intervalo de números reales $\left[a,b\right]$.

En el plano complejo hay diferentes trayectorias de aproximación entre dos puntos, y el concepto equivalente al de intervalo de integración es el de un arco de curva de trayectoria de integración $C$.

Figura 19: Tres trayectorias para ir del punto $2$ + 2i al punto $7$ + 5i

Curvas suave o suave por intervalos.

Propiedades:

Conjunto simplemente conexo:

Se dice que D es simplemente conexo si no tiene agujeros.

Conjunto no simplemente conexo

Propiedad 6

Sea α una curva suave o suave por intervalos de z1 a z2 en un dominio simplemente conexo.
si f(x) es una funcion analitica y se cumple:
f'(z)=f(z) en el dominio D, entonces:

 
Integrales cerradas:

γ es una curva suave y cerrada, es una curva cerrada si el punto inicial y final de la curva coinciden.
 

 Propiedad 1 (Integrales de Cauchy):

Sea f(z) uan funcion analitica en D, un dominio o simplemente conexo y sea γ una curva cerrada simple en D

  
Propiedad 2:

Si f(z) es analítica en un dominio simplemente conexo D, entonces, la integral de linea es independiente de la trayectoria en D.

 
Propiedad 3(Teorema de la deformación):

Sea f(z) analitica en D excepto en Z(0) y sean γ y Ω curvas cerradas simples que encierran a Z(0).
 
 
Propiedad 4:

Si f(z) es analitica en un dominio simplemente conexo D y sea ϒ, curva cerrada simple que encierra a z(0)
entonces :

 
Propiedad 5

Formula de cauchy para las derivadas de orden superior 
sea f(z) analitica en un dominio en un dominio simplemente conexo D, y sea en z(0) en D, entonces f(z) tienen derivadas de todas las ordenes en z(0), y la "n"-esima derivada de f(z) en z(0) es :
 
Sucesiones y series de variable compleja 

Las sucesiones y series de variable compleja tienen propiedades similares a las sucesiones y series de variable real.

Sucesiones:

Una sucesión de variable compleja es una función de los naturales en los complejos.

 

Los elementos de tal sucesión serían:    

Una sucesión compleja se expresa así:  

Propiedades:

    1. Si  para cada positivo n y si L = a + ib, entonces:

 

     Suponiendo que entonces:

    2.  

    3.  

    4.  

    5.   

Series Convergentes:

Series Divergentes:

Convergencia:

 Para que una sucesión sea convergente debe cumplir:
  

Series: Una serie es la suma de los elementos de una sucesión, esta se expresa así:

• Sucesión:  =

• Serie:         

La convergencia de la serie compleja se determina a través de las series reales que la componen.

Propiedades: 

Sea  se puede expresar:

1. converge si y solamente si  convergen
2. Si converge a "a"  y converge a "b" entonces:  converge a  "a+bi".
3. Si  converge, entonces . De esta propiedad también se puede decir:

 Bibliografía:

•  http://corcoles.org/uoc/anmat/es/es24.xml

•  http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/nunez/cursos/MetodosMatematicos2/2008B/S012_C36.pdf

•  http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Analisis%20matematico/Temas/C03_Series_Complejas.pdf